Ejercicios de Econometría

Ejercicios de economía. Gracias
Un consumidor tiene preferencias que pueden representarse mediante una función de utilidad u(x) que es homogénea de grado λ>0, es decir, u(αx) = αλu(x) para cada α>0.
    Demuestre que la función de la demanda de este consumidor es homogénea en grado uno en w, es decir, x(p, αw) = αx(p,w).

    Considere ahora la función de gasto.
    Sea xu el vector que minimiza el gasto de lograr utilidad u, de modo que e(p, αλu) ≤ αe (p,u).
    Demuestre que de hecho no podemos tener e(p, αλu) < αe(p, u).
Sugerencia considere el vector xαλu que minimiza el costo de lograr αλu, y demuestre que si xαλu ≠ αxu tenemos una contradicción. Concluya que e(p, αλu) = αe(p, u).
    Concluya que existe una función e*(p) tal que la función de gasto se puede escribir como e(p, u) = u1/λ e*(p).

Para un vector p y un nivel de riqueza w, sea v(p, w) la función de utilidad indirecta, e(p, u) la función de gasto  y x(p, w) el vector de la demanda. Muestre que
(p_i x_i (p,w))/w=  (∂ln⁡(e(p,u))/(∂lnp_i )